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DIE REIHENFOLGE : DIE ERKLÄRUNG

• 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36
  - 1;
  1 + 2 = 3;
  1 + 2 + 3 = 6;
  1 + 2 + 3 + 4 = 10;
  1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;
  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;
  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28;
  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch n(n + 1)/2 gegeben. Die Zahlen werden oft als Dreieckszahlen genannt.
  
  
• 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255
  - 2¹ - 1 = 2 - 1 = 1;
  2² - 1 = 4 - 1 = 3;
  2³ - 1 = 8 - 1 = 7;
  2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15;
  2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31;
  2⁶ - 1 = 64 - 1 = 63;
  2⁷ - 1 = 128 - 1 = 127;
  2⁸ - 1 = 256 - 1 = 255;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch 2ⁿ - 1 gegeben.
  Deshalb, bilden die Differenzen zwischen zwei fortlaufenden Zahlen eine einfache Reihenfolge:
  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
  
  
• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
  - 0 + 1 = 1;
  1 + 1 = 2;
  1 + 2 = 3;
  2 + 3 = 5;
  3 + 5 = 8;
  5 + 8 = 13;
  8 + 13 = 21;
  13 + 21 = 34;
  21 + 34 = 55; Jeder Begriff in der Reihenfolge (die mit dem dritten Begriff anfängt) ist die Summe der zwei vorangegangene Begriffe. Die Reihenfolge ist oft als die Fibonacci-Folge genannt. Die Fibonacci-Folge wird auch in der Natur anwesend. Eigentlich folgt die Anzahl der Blätter auf den Stämmen von besonderer Pflanzen dieser Reihe.
  
  
• 15, 12, 24, 20, 33, 28, 42, 36
  - Die ungerade Begriffe werden ständig um 9 vermehrt, d.h.,
  15 + 9 = 24; 24 + 9 = 33 ; 33 + 9 = 42; ...
  Die gerade Begriffe werden ständig um 9 vermehrt, d.h.,
  12 + 8 = 20; 20 + 8 = 28; 28 + 8 = 36; ...
  
  
• 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72
  - (1)(2) = 2;
  (2)(3) = 6;
  (3)(4) = 12;
  (4)(5) = 20;
  (5)(6) = 30;
  (6)(7) = 42;
  (7)(8) = 56;
  (8)(9) = 72;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch n (n + 1) gegeben.
  
  
• 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720
  - (1)(2)(3) = 6;
  (2)(3)(4) = 24;
  (3)(4)(5) = 60;
  (4)(5)(6) = 120;
  (5)(6)(7) = 210;
  (6)(7)(8) = 336;
  (7)(8)(9) = 504;
  (8)(9)(10) = 720;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch n (n + 1) (n + 2) gegeben.
  
  
• 1, 2, 6, 24, 120, 720
  - 1 = 1;
  (1)(2) = 2;
  (1)(2)(3) = 6;
  (1)(2)(3)(4) = 24;
  (1)(2)(3)(4)(5) = 120;
  (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge ist durch n! (die Fakultät von n) gegeben, die als das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert wird.
  
  
• 0, 1, 2, 7, 20, 61, 182, 547
  - 3(0) + 2(1) = 2;
  3(1) + 2(2) = 7;
  3(2) + 2(7) = 20;
  3(7) + 2(20) = 61;
  3(20) + 2(61) = 182;
  3(61) + 2(182) = 547;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch t_n = 3 t_{n - 2} + 2 t_{n - 1} gegeben. Jeder Begriff in der Reihenfolge (die mit dem dritten Begriff anfängt) ist die Linearkombination von der zwei vorangegangenen Begriffe. Also, lassen Sie die n-te Begriff in der Reihenfolge dadurch wird gegeben t_n = 3 t_{n - 2} + 2 t_{n - 1}.
  Für n = 3, 2 = a(0) + b(1),
  Für n = 4, 7 = a(1) + b(2)
  Deshalb, a = 3 and b = 2.
  
  
• 1/4, 0, 1, -3, 13, -51, 205, -819
  - 4(1/4) - 3(0) = 1;
  4(0) - 3(1) = -3;
  4(1) - 3(-3) = 13;
  4(-3) - 3(13) = -51;
  4(13) - 3(-51) = 205;
  4(-51) - 3(205) =-819;
  Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch t_n = 4 t_{n - 2} - 3 t_{n - 1} gegeben.
  Jeder Begriff in der Reihenfolge (die mit dem dritten Begriff anfängt) ist die Linearkombination von der zwei vorangegangenen Begriffe. Also, lassen Sie die n-te Begriff in der Reihenfolge dadurch wird gegeben t_n = 4 t_{n - 2} - 3 t_{n - 1}.
  Für n = 3, 1 = a(1/4) + b(0)
  Für n = 4, -3 = a(0) + b(1)
  Deshalb, a = 4 and b = -3.
  
  
• 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000
  - 1 (base 2) = 1(1) = 1 (base 10);
  10 (base 2) = 1(2) + 0(1) = 2 (base 10);
  11 (base 2) = 1(2) + 1(1) = 3 (base 10);
  100 (base 2) = 1(4) + 0(2) + 0(1) = 4 (base 10);
  101 (base 2) = 1(4) + 0(2) + 1(1) = 5 (base 10);
  110 (base 2) = 1(4) + 1(2) + 0(1) = 6 (base 10);
  111 (base 2) = 1(4) + 1(2) + 1(1) = 7 (base 10);
  1000 (base 2) = 1(8) + 0(4) + 0(2) + 0(1) = 8 (base 10);
  Die Zahlen der Reihenfolge sind 1, 2, 3, 4, 5, ... im Binärsystem.
  
  
• 1, 2, 10, 37, 101, 226
  - 2 - 1 = 1; 10 - 2 = 8; 37 - 10 = 27; 101 - 37 = 64;
  Die Differenzen zwischen zwei fortlaufenden Zahlen sind 1, 8, 27, 64, ... (die Würfel der ganze Zahlen, die mit 1 anfangen).
  Deshalb, 101 + 5³ = 101 + 125 = 226
  
  
• 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65
  - Die Begriffe sind bloß eins mehr als die Quadrate der ganze Zahlen, die mit 1 anfangen. So,
  1² + 1 = 1 + 1 = 2; 2² + 1 = 4 + 1 = 5; 3² + 1 = 9 + 1 = 10;
  4² + 1 = 16 + 1 = 17; 5² + 1 = 25 + 1 = 26; 6² + 1 = 36 + 1 = 37;
  Oder aber, bilden die Differenzen zwischen der fortlaufenden Begriffe die folgende einfache Reihenfolge:
  3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...
  
  
• 7, 26, 63, 124, 215, 342
  - Die Begriffe sind bloß eins kleiner als die Würfel der ganze Zahlen, die mit 2 anfangen. So,
  2³ - 1 = 8 - 1 = 7; 3³ - 1 = 27 - 1 = 26; 4³ - 1 = 64 - 1 = 63;
  5³ - 1 = 125 - 1 = 124; 6³ - 1 = 216 - 1 = 215; 7³ - 1 = 343 - 1 = 342;
  
  
• 2, 12, 36, 80, 150, 252, 392, 576
  - Die Begriffe sind die Summe von der Quadrate und der Würfel der ganze Zahlen. So,
  1² + 1³ = 1 + 1 = 2; 2² + 2³ = 4 + 8 = 12; 3² + 3³ = 9 + 27 = 36;
  4² + 4³ = 16 + 64 = 80; 5² + 5³ = 25 + 125 = 150; 6² + 6³ = 36 + 216 = 252;
  7² + 7³ = 49 + 343 = 392;
  8² + 8³ = 64 + 512 = 576;
  
  
• 2, 5, 17, 65, 257, 1025
  - Die Begriffe sind bloß eins mehr als die Potenzen 4. 
  4⁰ + 1 = 1 + 1 = 2; 4¹ + 1 = 4 + 1 = 5; 4² + 1 = 16 + 1 = 17;
  4³ + 1 = 64 + 1 = 65; 4⁴ + 1 = 256 + 1 = 257; 4⁵ + 1= 1024 + 1 = 1025;
  
  
• 9, 729, 8, 512, 7, 343
  - Die ungerade Begriffe sind bloß die ganze Zahlen, die mit 9 in der absteigende Reihenfolge anfangen. Die gerade Begriffe sind die Würfel der ungerade Begriffe. So,
  9³ = 9 x 9 x 9 = 729; 8³ = 8 x 8 x 8 = 512; 7³ = 7 x 7 x 7 = 343;
  
  
• 361, 289, 225, 169, 121
  - Die ungerade Begriffe sind bloß die Quadrate der ganze Zahlen, die mit 19 in der absteigende Reihenfolge anfangen. So,
  19² = 19 x 19 = 361; 17² = 17 x 17 = 289; 15² = 15 x 15 = 225;
  13² = 13 x 13 = 169; 11² = 11 x 11 = 121;
  Die Differenzen zwischen zwei fortlaufenden Zahlen sind 72, 64, 56, 48, ... (eine einfache Reihenfolge, die mit 72 anfängt und werden ständig um 8 abgenommen).
  
  
• 1/12, 1/2, 9/8, 13/6, 17/4, 21/2
  - Die Zählers (die mit 1 anfangen) werden ständig um 4 vermehrt. Die Nenners (die mit 12 anfangen) werden ständig um 2 abgenommen.
  Die Zählers sind 1, 5, 9, 13, 17, 21.
  Die Nenners sind 12, 10, 8, 6, 4, 2.
  Deshalb sind die Brüche 1/12, 5/10, 9/8, 13/6, 17/4, and 21/2.
  Beachten Sie, dass 5/10 äquivalent zu 1/2 ist.
  
  

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