1;
1 + 2 = 3;
1 + 2 + 3 = 6;
1 + 2 + 3 + 4 = 10;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch n(n + 1)/2 gegeben. Die Zahlen werden oft als Dreieckszahlen genannt.

2¹ - 1 = 2 - 1 = 1;
2² - 1 = 4 - 1 = 3;
2³ - 1 = 8 - 1 = 7;
2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15;
2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31;
2⁶ - 1 = 64 - 1 = 63;
2⁷ - 1 = 128 - 1 = 127;
2⁸ - 1 = 256 - 1 = 255;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch 2ⁿ - 1 gegeben.
Deshalb, bilden die Differenzen zwischen zwei fortlaufenden Zahlen eine einfache Reihenfolge:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
1 + 2 = 3;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21;
13 + 21 = 34;
21 + 34 = 55; Jeder Begriff in der Reihenfolge (die mit dem dritten Begriff anfängt) ist die Summe der zwei vorangegangene Begriffe. Die Reihenfolge ist oft als die Fibonacci-Folge genannt. Die Fibonacci-Folge wird auch in der Natur anwesend. Eigentlich folgt die Anzahl der Blätter auf den Stämmen von besonderer Pflanzen dieser Reihe.

Die ungerade Begriffe werden ständig um 9 vermehrt, d.h.,
15 + 9 = 24; 24 + 9 = 33 ; 33 + 9 = 42; ...
Die gerade Begriffe werden ständig um 9 vermehrt, d.h.,
12 + 8 = 20; 20 + 8 = 28; 28 + 8 = 36; ...

(1)(2) = 2;
(2)(3) = 6;
(3)(4) = 12;
(4)(5) = 20;
(5)(6) = 30;
(6)(7) = 42;
(7)(8) = 56;
(8)(9) = 72;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch n (n + 1) gegeben.

(1)(2)(3) = 6;
(2)(3)(4) = 24;
(3)(4)(5) = 60;
(4)(5)(6) = 120;
(5)(6)(7) = 210;
(6)(7)(8) = 336;
(7)(8)(9) = 504;
(8)(9)(10) = 720;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch n (n + 1) (n + 2) gegeben.

1 = 1;
(1)(2) = 2;
(1)(2)(3) = 6;
(1)(2)(3)(4) = 24;
(1)(2)(3)(4)(5) = 120;
(1)(2)(3)(4)(5)(6) = 720;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge ist durch n! (die Fakultät von n) gegeben, die als das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert wird.

3(0) + 2(1) = 2;
3(1) + 2(2) = 7;
3(2) + 2(7) = 20;
3(7) + 2(20) = 61;
3(20) + 2(61) = 182;
3(61) + 2(182) = 547;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch t_n = 3 t_{n - 2} + 2 t_{n - 1} gegeben. Jeder Begriff in der Reihenfolge (die mit dem dritten Begriff anfängt) ist die Linearkombination von der zwei vorangegangenen Begriffe. Also, lassen Sie die n-te Begriff in der Reihenfolge dadurch wird gegeben t_n = 3 t_{n - 2} + 2 t_{n - 1}.
Für n = 3, 2 = a(0) + b(1),
Für n = 4, 7 = a(1) + b(2)
Deshalb, a = 3 and b = 2.

4(1/4) - 3(0) = 1;
4(0) - 3(1) = -3;
4(1) - 3(-3) = 13;
4(-3) - 3(13) = -51;
4(13) - 3(-51) = 205;
4(-51) - 3(205) =-819;
Der n-te Begriff in der Reihenfolge wird durch t_n = 4 t_{n - 2} - 3 t_{n - 1} gegeben.
Jeder Begriff in der Reihenfolge (die mit dem dritten Begriff anfängt) ist die Linearkombination von der zwei vorangegangenen Begriffe. Also, lassen Sie die n-te Begriff in der Reihenfolge dadurch wird gegeben t_n = 4 t_{n - 2} - 3 t_{n - 1}.
Für n = 3, 1 = a(1/4) + b(0)
Für n = 4, -3 = a(0) + b(1)
Deshalb, a = 4 and b = -3.

1 (base 2) = 1(1) = 1 (base 10);
10 (base 2) = 1(2) + 0(1) = 2 (base 10);
11 (base 2) = 1(2) + 1(1) = 3 (base 10);
100 (base 2) = 1(4) + 0(2) + 0(1) = 4 (base 10);
101 (base 2) = 1(4) + 0(2) + 1(1) = 5 (base 10);
110 (base 2) = 1(4) + 1(2) + 0(1) = 6 (base 10);
111 (base 2) = 1(4) + 1(2) + 1(1) = 7 (base 10);
1000 (base 2) = 1(8) + 0(4) + 0(2) + 0(1) = 8 (base 10);
Die Zahlen der Reihenfolge sind 1, 2, 3, 4, 5, ... im Binärsystem.

2 - 1 = 1; 10 - 2 = 8; 37 - 10 = 27; 101 - 37 = 64;
Die Differenzen zwischen zwei fortlaufenden Zahlen sind 1, 8, 27, 64, ... (die Würfel der ganze Zahlen, die mit 1 anfangen).
Deshalb, 101 + 5³ = 101 + 125 = 226

Die Begriffe sind bloß eins mehr als die Quadrate der ganze Zahlen, die mit 1 anfangen. So,
1² + 1 = 1 + 1 = 2; 2² + 1 = 4 + 1 = 5; 3² + 1 = 9 + 1 = 10;
4² + 1 = 16 + 1 = 17; 5² + 1 = 25 + 1 = 26; 6² + 1 = 36 + 1 = 37;
Oder aber, bilden die Differenzen zwischen der fortlaufenden Begriffe die folgende einfache Reihenfolge:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

Die Begriffe sind bloß eins kleiner als die Würfel der ganze Zahlen, die mit 2 anfangen. So,
2³ - 1 = 8 - 1 = 7; 3³ - 1 = 27 - 1 = 26; 4³ - 1 = 64 - 1 = 63;
5³ - 1 = 125 - 1 = 124; 6³ - 1 = 216 - 1 = 215; 7³ - 1 = 343 - 1 = 342;

Die Begriffe sind die Summe von der Quadrate und der Würfel der ganze Zahlen. So,
1² + 1³ = 1 + 1 = 2; 2² + 2³ = 4 + 8 = 12; 3² + 3³ = 9 + 27 = 36;
4² + 4³ = 16 + 64 = 80; 5² + 5³ = 25 + 125 = 150; 6² + 6³ = 36 + 216 = 252;
7² + 7³ = 49 + 343 = 392;
8² + 8³ = 64 + 512 = 576;

Die Begriffe sind bloß eins mehr als die Potenzen 4. 
4⁰ + 1 = 1 + 1 = 2; 4¹ + 1 = 4 + 1 = 5; 4² + 1 = 16 + 1 = 17;
4³ + 1 = 64 + 1 = 65; 4⁴ + 1 = 256 + 1 = 257; 4⁵ + 1= 1024 + 1 = 1025;

Die ungerade Begriffe sind bloß die ganze Zahlen, die mit 9 in der absteigende Reihenfolge anfangen. Die gerade Begriffe sind die Würfel der ungerade Begriffe. So,
9³ = 9 x 9 x 9 = 729; 8³ = 8 x 8 x 8 = 512; 7³ = 7 x 7 x 7 = 343;

Die ungerade Begriffe sind bloß die Quadrate der ganze Zahlen, die mit 19 in der absteigende Reihenfolge anfangen. So,
19² = 19 x 19 = 361; 17² = 17 x 17 = 289; 15² = 15 x 15 = 225;
13² = 13 x 13 = 169; 11² = 11 x 11 = 121;
Die Differenzen zwischen zwei fortlaufenden Zahlen sind 72, 64, 56, 48, ... (eine einfache Reihenfolge, die mit 72 anfängt und werden ständig um 8 abgenommen).

Die Zählers (die mit 1 anfangen) werden ständig um 4 vermehrt. Die Nenners (die mit 12 anfangen) werden ständig um 2 abgenommen.
Die Zählers sind 1, 5, 9, 13, 17, 21.
Die Nenners sind 12, 10, 8, 6, 4, 2.
Deshalb sind die Brüche 1/12, 5/10, 9/8, 13/6, 17/4, and 21/2.
Beachten Sie, dass 5/10 äquivalent zu 1/2 ist.